В 1933 году окончил Харьковский электротехнический институт. В 1932—1934 годах работал в газете «Краматорская правда», где собрал и объединил молодых литераторов, став родоначальником Краматорского городского литературного объединения.
Во время Великой Отечественной войны — фронтовой корреспондент газеты 18-й армии «Знамя Родины», газеты 1-го Украинского фронта «За честь Родины».
Летом 1942 года Борзенко награждён медалью «За отвагу» за мужество в боях за деревню Новая Орловка, находясь в передней атакующей цепи батальона, и участие в отражении атак немцев. В ноябре этого же года Борзенко награждён орденом Красной Звезды за то, что 19 августа 1942 года во вражеском тылу, в районе станицы Ходыженской, в составе разведгруппы действовал как офицер, уничтожал врага огнём автомата и гранатами, участвовал во всех налётах отряда.
Участник обороны “Малой земли” Новороссийска.
Фронтовая судьба распорядилась так, что журналист и писатель С.А. Борзенко фактически возглавил один из отрядов десанта морских пехотинцев, штурмом взявших 1 ноября 1943 года и удерживавших плацдарм на крымском побережье в районе посёлка Эльтиген, в ходе Керченско-Эльтигенской операции войск Северо-Кавказского фронта и Черноморского флота.
По заданию редакции газеты «Знамя Родины» военкор Борзенко С. А. прибыл в расположение войск 318-й Новороссийской горнострелковой дивизии, чтобы вместе с бойцами батальона морской пехоты капитана Белякова Н. А., приданного 1339-му горнострелковому полку, добраться до Крыма и написать корреспонденцию о вступлении советских войск на крымскую землю. В районе Тамани с десантниками на тихоходном мотоботе № 10 в ночь на 1 ноября 1943 года, форсировав под вражеским обстрелом Керченский пролив, Борзенко высадился в числе первых на Керченский полуостров.
Оказавшись старшим по званию и единственным офицером в составе отряда, майор Борзенко стал руководить действиями морских пехотинцев, приказав сделать проход в проволочных заграждениях и начать наступление на позиции гитлеровцев. При этом, не забывая и о своём профессиональном долге, он в несколько минут написал первую корреспонденцию в 50 строк, упомянув в ней отличившихся в момент высадки, и, завернув корреспонденцию в водонепроницаемую упаковку, передал её связному для доставки в Тамань, где находилась редакция «Знамя Родины». Через несколько часов печатный орган 18-й армии поведал всем: «Наши войска ворвались в Крым!». Так была озаглавлена статья героя «Огненной земли», фронтового корреспондента С. А. Борзенко.
За героизм и мужество, проявленные при высадке десанта на Керченский полуостров, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 ноября 1943 года майору Борзенко Сергею Александровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
С 1944 года полковник Борзенко С. А. — корреспондент газеты «Правда». .
Награжден двумя орденами Отечественной войны I степени, орденом Трудового Красного Знамени, тремя орденами Красной Звезды, медалями «За отвагу» и «За оборону Кавказа».
Будучи непосредственным участником боёв, Борзенко сумел ярко показать, как в горниле войны, в самые тяжёлые и трагические её моменты, проявлялись истинные черты советского человека — любовь к Родине, готовность к подвигу, отвага.