Фронтовой кинооператор, заслуженный деятель искусств, Лауреат Государственной премии СССР. Награжден: Медалями «За оборону Москвы», «За взятие Берлина», «За освобождение Варшавы», «За победу над Японией», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.», орденами Красной Звезды, Отечественной войны II степени, Петра Великого I степени. Лауреат Сталинской премии .
Заслуженный деятель искусств РСФСР.
В 1936 году, окончив операторский факультет ВГИКа, был направлен на преддипломную практику на Московскую студию кинохроники.
В июне 1941 года на киностудии шла подготовка к съемкам фильма о войне «Город в обороне». С группой фильма выехал на экспедицию в город Коломну, где на 22 июня намечался первый съемочный день. Однако из-за войны от работы над фильмом пришлось отказаться.
В сентябре 1941 года с Центральной киностудией кинохроники эвакуировался через Куйбышев в Алма-Ату, где три года снимал в Казахстане тыловую хронику .
В 1944 году был обратно возвращен в Москву, а оттуда уже в звании капитана направлен во фронтовую группу 1-го Белорусского фронта. Снимал бои в Польше, Германии, затем был направлен оператором на Забайкальский фронт.
В мае 1945 года Соколов вместе с оператором Михаилом Посельским снимали берлинскую тюрьму, а также отдельно камеру пыток и казней гестапо. Заснятые Борисом кадры с гильотиной в камере пыток включил позднее в свой фильм режиссер Андрей Тарковский «Иваново детство», которая стала символом мученической смерти главного героя.
Отснятые капитаном Соколовым кадры фронтовой кинохроники вошли во многие документальные фильмы периода Великой Отечественной войны, в частности, «Знамя победы над Берлином водружено», «Берлин», «Разгром Японии» и другие.
Борис Александрович вспоминал: «Самым сильным впечатлением войны стал для меня момент подписания немецкой капитуляции 8 мая 45 года. Дворец в Карлсхорсте. Очень хорошо помню, как высокомерно вел себя начальник штаба верховного главнокомандующего вермахта, фельдмаршал Кейтель, будто это он победил, а не его победили, но его никто не поприветствовал. Мы возвращались домой победителями.