Алексей Бегак родился 10 марта 1960 года в Москве в очень артистической семье – его родители танцевали в Большом театре. Бегак окончил Московский государственный художественный институт им. Сурикова. Свою карьеру он начинал в качестве художника-иллюстратора и дизайнера книг. Среди его работ – книги о Герберте Уэллсе, Артуре Конан Дойле, Эрнесте Хемингуэе, Борисе Пастернаке и другие.
Выставки его картин проходили в одной из первых частных галерей Москвы ArtModern, в галерее “Зеро”, в Eleonor Ettinger Gallery в Нью-Йорке. Проведя год в Лондоне, Алексей Бегак увлекся дизайном интерьеров. Начав с переустройства собственного дома под Москвой и показав его друзьям, Алексей очень скоро стал востребованным дизайнером и архитектором.
“Правила жизни” Алексея Бегака – телепрограмма о привычках и традициях, с которыми живет современный человек. В гости к Бегаку приходили известные люди.
В 2014 году Алексей Бегак был соведущим третьего сезона проекта “Большая опера” на телеканале “Россия-Культура”.
В 2017-ом он вел интеллектуальную игру “Гений”.
Несмотря на занятость в телепроектах, Алексей Бегак любимую живопись не оставлял.