Алексей Бегак родился 10 марта 1960 года в Москве в очень артистической семье — его родители танцевали в Большом театре. Бегак окончил Московский государственный художественный институт им. Сурикова. Свою карьеру он начинал в качестве художника-иллюстратора и дизайнера книг. Среди его работ — книги о Герберте Уэллсе, Артуре Конан Дойле, Эрнесте Хемингуэе, Борисе Пастернаке и другие.
Выставки его картин проходили в одной из первых частных галерей Москвы ArtModern, в галерее «Зеро», в Eleonor Ettinger Gallery в Нью-Йорке. Проведя год в Лондоне, Алексей Бегак увлекся дизайном интерьеров. Начав с переустройства собственного дома под Москвой и показав его друзьям, Алексей очень скоро стал востребованным дизайнером и архитектором.
«Правила жизни» Алексея Бегака — телепрограмма о привычках и традициях, с которыми живет современный человек. В гости к Бегаку приходили известные люди.
В 2014 году Алексей Бегак был соведущим третьего сезона проекта «Большая опера» на телеканале «Россия-Культура».
В 2017-ом он вел интеллектуальную игру «Гений».
Несмотря на занятость в телепроектах, Алексей Бегак любимую живопись не оставлял.